从赌桌到股市：凯利公式如何最大化复利增长

仓位比方向更值钱—90% 胜率也能输光

设一个看似“稳赢”的游戏：胜率 p = 90%，等赔率 b = 1（赢一赔一）。如果你每把都 All-in：

• 连续活到第 N 把的概率是 0.9^N。N = 10 时仅 34.87%；N = 20 时 12.16%；N = 50 时约 0.52%；N = 100 时约 0.0027%。
• 一旦有任意一把失手，资金瞬间归零，后续再无翻身空间；继续玩下去，“迟早会输光”的概率趋近于 100%。
• 从长期增长角度看，对数增长率 g(f) = p * ln(1 + f) + q * ln(1 − f)。All-in 即 f = 1，则 g = 0.9 * ln(2) + 0.1 * ln(0) = −∞—— 长期视角下几乎必败。

而凯利给出的最优仓位在等赔率下是 f* = 2p − 1 = 0.8（80% 仓位）。此时 g(0.8) = 0.9 * ln(1.8) + 0.1 * ln(0.2) ≈ 0.368 > 0，意味着长期复利是正的。若考虑估计误差，用半凯利（40%）会更平滑。

方向对（p > 0.5）不代表安全；All-in 把你的生存权押给了坏序列。仓位才是把优势变成长跑成绩的关键变量。

所以财富的游戏不是“加法”，而是“乘法”。押对方向如果仓位不对，也会输个精光。在运气不好的坏序列里，仓位过重会让连续回撤吞噬复利；真正决定你能走多远的，不是下一把赢多少，而是每一把是否用合适的仓位去服务长期增长。

复利的正确目标

聪明的下注不是追求下一把的“最大收益”，而是追求长期财富路径的“最大增速”。乘法世界里，回撤更像“空气阻力”：阻力越大，净前进速度越慢。数学家把这个目标写成“最大化对数财富增长”，投资者把它翻译成一句顺口话：别让一次贪心破坏十次耐心。

把一次交易看成押注：胜率为 p，失败概率 q = 1 − p；每次赢的净赔率为 b（下注 1，赢后净赚 b）。凯利公式给出的最优仓位比例是：

f* = (b * p − q) / b （最优每次下注比例 =（赔率*胜率-败率）/赔率）

等赔率（赢 1 赔 1，b = 1）时，式子简化为：

f* = 2 * p − 1

它既不鼓励“梭哈”，也不兜售神话，只是把“优势”换算成“比例”：有优势就多押一点，但不押到破产边缘。

凯利公式的推导（硬核内容可以收藏后慢慢看）

设定。 当前资金 W，用仓位 f 下注；赢的概率 p（输为 q = 1 − p），净赔率 b（下注 1，赢后净赚 b）。

一次的结果。

• 赢一次：资金变为 W * (1 + b * f)
• 输一次：资金变为 W * (1 − f)

推导背后的原理

• 乘法 vs 平均数。 资金是“乘法增长”。比如先涨 50% 再跌 50%，算术平均是 0%，但 100 → 150 → 75，最终还少了 25%。所以我们关心的是“很多次相乘后的典型结果”，这由几何平均（或对数之和）刻画。
• 把乘法变加法。 用“对数”把乘法变成加法：每一步的“倍数”取对数后可以相加，很多步以后，每一步平均的对数增长会稳定在一个值附近（直觉上可看作“大数定律”的效果）。因此，最大化“期望对数增长”≈最大化长期典型路径。
• 涨跌不对称。 跌 50% 需要涨 100% 才回本。对数会更重地“惩罚”大回撤，迫使我们避免把仓位压到极端，从而降低“坏序列把你淘汰”的概率。
• 边际平衡。 随着仓位变大，“赢时的好处”增加得越来越慢，“输时的坏处”增加得越来越快（可理解为“收益递减”）。最佳点就是：再多加一丁点仓位，赢面带来的好处正好被亏损带来的坏处抵消——这就是下面的平衡条件。

把直觉写成式子。 令“好处 = 坏处”：

(p * b) / (1 + b * f) = q / (1 − f)
=> p b (1 − f) = q (1 + b f)
=> (p b − q) = f b (p + q)
=> f* = (b p − q) / b    （因为 p + q = 1）

等赔率（b = 1）时。 f* = 2 * p − 1。如果 f* ≤ 0：不下注或保持极小仓位；如果 f* > 1：意味着需要杠杆，风险激增，实务中常采用“分数凯利”（如 1/2 或 1/3）。

一句话记忆：等赔率时，“仓位 = 胜率 × 2 − 1”。

例子

设一枚略偏向你的硬币，正面概率 0.55，等赔率。凯利建议用 10% 的资金下注——不是 50%，更不是 100%。为什么？因为我们优化的是对数增长，而非下一局的搏命快感。仓位越重，序列里几次连续亏损对资金曲线的打击越大；仓位稍轻，虽然单局不“炸裂”，但典型路径更稳、更高。

胜率 vs 仓位速查表

不同赔率的快速换算（记住“净赔率 b”的含义：下注 1，赢后净赚 b）：

• 胜率 60%，等赔率 b = 1：f* = 2 * 0.60 − 1 = 20%；半凯利 ≈ 10%。
• 胜率 60%，赔率 1:1.5（b = 1.5）：f* = (1.5 * 0.60 − 0.40) / 1.5 ≈ 20%。
• 胜率 55%，赔率 1:2（b = 2）：f* = (2 * 0.55 − 0.45) / 2 = 32.5%。
• 胜率 55%，赔率 1:0.5（b = 0.5）：f* = (0.5 * 0.55 − 0.45) / 0.5 = −35% ⇒ 不下注。

口决：等赔率时，“翻倍胜率减 1”；其他赔率时，用 f* = (b * p − (1 − p)) / b。不确定就打折：半凯利或三分之一凯利。

实操路径

第一步： 提出可检验的优势假说——为何胜率 p > 0.5？依据来自基本面反转、供需错配，还是可复用的行为偏差？

第二步： 谨慎估计赔率 b，宁可保守，不要许愿。

第三步： 代入凯利得到理论仓位 f*，再根据信息可靠度与个人回撤容忍度“打折”（如 1/2 或 1/3）。

第四步： 事前设定再平衡规则：当事实背离假设，仓位先动起来，而不是情绪先起飞。

小练习。 研究一家处于产能爬坡期的企业，判断利润率修复的胜率约 60%，保守估计赔率 1:1.5（赚 1.5，亏 1）。代入得 f* = (1.5 * 0.60 − 0.40) / 1.5 ≈ 0.20，理论最优仓位约 20%。若承认估计可能乐观，采用 1/2 凯利，实际下到 10% 更合适。随着数据兑现，可把置信度转化为仓位的温和递增；若现实打脸，先把仓位砍回基础线，再复盘假设错在何处。

组合视角

很多人以为买了三只不同的票，实际上坐在同一条波浪上——相关性把“多样性”变成了表演。组合版凯利会同时纳入预期收益、方差与相关性；直觉上的启示是：两笔高度相关的好机会，不等于两倍的下注额度。真正的分散不是“凑数量”，而是“降相关”。

常见边界与误区

• 它不是择时工具。 不回答“今天还是明天买”，只回答“买多少”。
• 它不替你制造优势。 若没有可重复的优势，最优仓位就是零。
• 它不是杠杆许可证。 杠杆会放大优势，也会同时放大误差与尾部风险；真正的高手只在优势确定时谨慎使用杠杆，并始终为极端坏序列留出生存空间。

心理承受力与分数凯利

心理承受力也是参数。满凯利的资金路径更陡也更颠簸，账面回撤可能轻松穿越多数人的心理阈值。因此“人性版本”的最优解，往往是以分数凯利为底线，再叠加客观的“回撤—降杠杆—再评估”机制。仓位管理的上限由优势决定，下限由睡眠质量决定；能让你睡得着觉的仓位，更可能就是你的长期最优。

把“赢面”变成“仓位”

把赌桌的比喻带回股市，是为了记住一个常被忽视的命题：我们与世界打交道，很多时候不是“对或错”，而是“多或少”。当你在优势明确的交易上小心翼翼地多走一步，长期曲线就会悄悄上扬一点；当你在模糊地带收一收手，极端坏序列就少了一次吞没你的机会。凯利公式给了我们一把清醒的度量尺：优势不是让你冒险的理由，而是让你有纪律地加注的理由。把它用在自己熟悉、可证伪、可复盘的领域里，久而久之，你会发现时间站在你这边。

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